MathObRe — L'objectivité en mathématiques par la représentation

En ce qui concerne le monde physique, l’attitude réaliste standard, qui conçoit les objets comme existant indépendamment des représentations que nous avons d’eux, pourrait être (prima facie) plausible : si les choses se passent normalement, nous représentons les objets physiques comme nous le faisons parce qu’ils sont tels et tels. Au contraire, comme nous voulons le soutenir, la situation est inversée dans le monde mathématique : si les choses se passent normalement, les objets mathématiques sont tels et tels parce que nous les représentons comme nous le faisons. Cela ne signifie pas que les mathématiques ne peuvent pas être objectives : les représentations mathématiques peuvent être soumises à des contraintes qui imposent l’objectivité à ce qu’elles constituent. Si cela est exact, nous devons d’abord comprendre comment fonctionnent les représentations mathématiques afin de comprendre la nature des objets mathématiques. Dit dans les termes de la célèbre formule de Kreisel : « le problème n’est pas l’existence des objets mathématiques mais l’objectivité des jugements mathématiques » (Dummett 1978, p. xxxviii). Le problème auquel nous nous attaquons a trait à la question philosophique de la clarification du rôle des représentations dans le raisonnement mathématique et de la manière dont elles contribuent à l’ontologie et à la compréhension mathématiques. Il s’agit d’une enquête à nouveaux frais sur un problème classique en philosophie des mathématiques, qui relie la compréhension aux preuves et à la façon dont on conçoit l’ontologie des mathématiques. Toutefois, notre point de départ n’est ni la théorie classique de la démonstration, ni la métaphysique classique. Bien plutôt, nous considérons le problème en ouvrant la porte au tournant pratique en science. Dans notre perspective, la question n’est pas de trouver une formalisation invariante du raisonnement mathématique, pas plus que d’offrir un nouvel argument en faveur de l’existence des objets mathématiques. Nous nous demandons plutôt comment sont constitués des domaines appropriés d’objets mathématiques (abstraits), en recourant à différentes sortes de représentations, et comment un raisonnement approprié sur eux est autorisé. En conséquence, nous prévoyons d’analyser : (i) en quel sens, dans la pratique mathématique, des stipulations pertinentes déterminent les objets en recourant à des représentations appropriées ; (ii) en quel sens la rigueur inférentielle, considérée dans une perspective (informelle) du contenu, peut dépendre de ces stipulations ; (iii) en quel sens il est néanmoins possible de caractériser (en entrelaçant études philosophiques et recherches scientifiques) la prouvabilité informelle par des moyens formels, ce qui permet d’utiliser la logique et les mathématiques comme un outil pour l’épistémologie. Notre approche se démarque également des approches fondationnalistes classiques des mathématiques et de la logique, telles que le platonisme et le nominalisme classiques, qui ont en commun une « attitude existentielle » vis-à-vis des objets mathématiques (ils tiennent tous deux pour cruciale la question de leur existence ou de leur non-existence, bien qu’ils y apportent des réponses opposées) et considèrent le raisonnement mathématique comme invariant.